二次雷达方程

工作过程

• 上行链路（Interrogation） 地面询问器发射信号，被飞机的应答机接收。

• 下行链路（Reply） 应答机接收到有效询问后，以其自身的发射机和频率，向地面发射一个编码的应答信号。

上行链路最大距离

$$R_i^2 = \frac{P_t G_t G_r \lambda^2}{(4\pi)^2 P_{rmin}}$$

• $P_t$：询问器发射功率

• $G_t$：询问器发射天线增益

• $G_r$：应答机接收天线增益

• $P_{rmin}$：应答机接收机的最小可检测功率（灵敏度）

注意：因为是单向传播，所以是 $R^2$ 关系。

**下行链路最大距离 **

R_r^2 = \frac{P_r G_r G_t \lambda^2}{(4\pi)^2 P_{rmin}^'}

• $P_r$：应答机发射功率（通常较小）

• $G_r$：应答机发射天线增益

• $G_t$：地面询问器接收天线增益

• P_{rmin}^'：地面接收机的最小可检测功率（灵敏度）

总的最大作用距离 $R_{max}$ 是 $R_i$ 和 $R_r$ 中的较小者。通常下行链路是限制因素，因为机载应答机的发射功率远小于地面询问器。

提示

• 路径损耗：一次雷达是 $R^4$，二次雷达是两个 $R^2$。

• 灵敏度：一次雷达检测的是微弱的目标散射信号，而二次雷达检测的是应答机主动发射的较强信号。因此，二次雷达的作用距离远、功耗低，且不受目标RCS起伏的影响。

• 信息：一次雷达只能获得距离和方位，二次雷达（模式S）可以获得高度、识别码（呼号）等丰富信息。

双基地雷达方程

$$R_{max}^2 R_{r_{max}}^2 = \frac{P_t G_t G_r \lambda^2 \sigma_b}{(4\pi)^3 k T_0 B F_n (S/N)_{min}}$$

• $R_t$：目标到发射机的距离
• $R_r$：目标到接收机的距离
• $\sigma_b$：双基地雷达截面积（Bistatic RCS），它是一个与发射机和接收机相对目标的几何角度（双基地角 $\beta$）有关的量，通常不等于单基地RCS。
• $P_t, G_t, G_r, \lambda$ 等参数与单基地方程中类似。

与单基地雷达方程的关键区别

1. 几何关系：最大探测距离不再是一个简单的 $R$，而是由 $R_t$ 和 $R_r$ 共同决定的等值线（卡西尼卵形线）。在基线中垂线方向上距离最远。
2. 路径损耗：信号经历不同的双程路径衰减（$R_t^2 R_r^2$），而非单基地的 $R^4$。
3. 雷达截面积（RCS）：目标的 $\sigma_b$ 与单基地 $\sigma_m$ 完全不同，它强烈依赖于双基地角 $\beta$（发射机-目标-接收机之间的夹角）。在某些角度（如前向散射 $\beta \approx 180^\circ$）时，$\sigma_b$ 会变得非常大。
4. 同步问题：发射机和接收机之间需要精确的时间和相位同步，这是工程上的主要挑战。

用信号能量表示的雷达方程

标准的雷达方程通常使用峰值功率 $P_t$。然而，雷达的实际探测能力取决于它接收到的总信号能量，而不仅仅是峰值功率。

从标准的单基地雷达方程开始：

$$SNR = \frac{P_t G_t G_r \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 R^4 k T_s B F_n}$$

雷达发射的脉冲能量 $E_t$ 是峰值功率 $P_t$ 乘以脉冲宽度 $\tau$：$ E_t = P_t \cdot \tau$

系统噪声功率 $N = k T_s B$。对于匹配滤波器，其等效噪声带宽 $B$ 最优时近似等于信号带宽，而信号带宽 $B \approx 1/\tau$（对于简单脉冲）。因此，噪声功率谱密度 $N_0 = k T_s$。

将 $P_t = E_t / \tau$ 和 $B \approx 1/\tau$ 代入标准方程得到：$SNR = \dfrac{E_t G_t G_r \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 R^4 k T_s}$

能量形式雷达方程：

$$(SNR)_{out} = \frac{ E_t G_t G_r \lambda^2 \sigma } { (4\pi)^3 R^4 k T_s }$$

干扰环境下的雷达方程

有源干扰

雷达接收到的干扰信号功率 $J$ 为（这是一个单向传播方程）：

$$J = \frac{P_j G_j G_{r(j)} \lambda^2}{(4\pi)^2 R_j^2 B_j / B_r} L_j$$

• $P_j$：干扰机发射功率
• $G_j$：干扰机天线在雷达方向上的增益
• $G_{r(j)}$：雷达天线在干扰机方向上的增益
• $R_j$：干扰机到雷达的距离
• $B_j$：干扰信号的带宽
• $B_r$：雷达接收机的带宽
• $L_j$：干扰路径上的损耗因子
• $\frac{B_j}{B_r}$：带宽优势因子。如果 $B_j > B_r$，只有一部分干扰功率进入雷达接收机。如果 $B_j < B_r$（窄带干扰），雷达接收机会将其全部接收，但干扰可能无法覆盖整个雷达频带。

因此，在干扰环境下，雷达接收机的信干比（SJR - Signal-to-Jammer Ratio）为：

$$SJR = \frac{S}{J} = \frac{ P_t G_t G_r \lambda^2 \sigma R_j^2 (B_j / B_r) L_j } { (4\pi) R^4 P_j G_j G_{r(j)} L }$$

无缘干扰

无源干扰不主动发射能量，而是通过散射体（如箔条）改变电磁波传播环境。

杂波-信号比（CSR - Clutter-to-Signal Ratio）方程：

雷达接收到的目标信号功率 $S$ 不变。 雷达接收到的杂波功率 $C$ 为：

$$C = \frac{P_t G_t G_r \lambda^2 \sigma_c}{(4\pi)^3 R_c^4 L_c}$$

关键区别在于 雷达截面积 $\sigma_c$：

• 面杂波（如地、海杂波）：$\sigma_c = \sigma^0 A_c$，其中 $\sigma^0$ 是单位面积的杂波RCS（杂波系数），$A_c$ 是雷达分辨率单元的面积（距离门 x 波束宽度）。
• 体杂波（如雨、箔条）：$\sigma_c = \eta V_c$，其中 $\eta$ 是单位体积的杂波RCS，$V_c$ 是雷达分辨率单元的体积。

因此，信杂比（SCR - Signal-to-Clutter Ratio）为： 对于面杂波：

$$SCR = \frac{S}{C} = \frac{ \sigma R_c^4 L_c } { \sigma^0 A_c R^4 L }$$

对于体杂波：

$$SCR = \frac{S}{C} = \frac{ \sigma R_c^4 L_c } { \eta V_c R^4 L }$$